Programa de bacalaureat la Matematică

Matematică-informatică

Proba durează 3 ore și se notează cu 100 de puncte, din care 10 din oficiu.

Științe ale naturii

Proba durează 3 ore și se notează cu 100 de puncte, din care 10 din oficiu.

Tehnologic

Proba durează 3 ore și se notează cu 100 de puncte, din care 10 din oficiu.

Pedagogic

Proba durează 3 ore și se notează cu 100 de puncte, din care 10 din oficiu.

Programa de examen pentru disciplina Matematică

Anexa nr. 2 la OMEN nr. 4430/29.08.2014

Programa oficială de examen pentru disciplina Matematică (Anexa nr. 2 la OMEN nr. 4430/29.08.2014), care se aplică la bacalaureatul 2027 conform OMEC nr. 5211/2026, art. 3 alin. (1). Aici sunt transcrise conținuturile. Matematica se susține la proba E.c), după una dintre cele patru programe (în documentele oficiale: M_mate-info, M_șt-nat, M_tehnologic, M_pedagogic): Matematică-informatică (filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică și filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică), Științe ale naturii (filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii), Tehnologic (filiera tehnologică: profilul servicii, profilul resurse naturale și protecția mediului, profilul tehnic, toate calificările profesionale) și Pedagogic (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare). Pentru clasele a IX-a și a X-a, programele Matematică-informatică și Științe ale naturii au aceleași conținuturi. Programa oficială asociază fiecărui bloc de conținuturi competențele specifice evaluate; pentru acestea și pentru formularea exactă, consultă documentul oficial.

Documentul oficial

Matematică-informatică și Științe ale naturii · Clasa a IX-a

• Mulțimi și elemente de logică matematică

  Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracționară a unui număr real; operații cu intervale de numere reale; Propoziție, predicat, cuantificatori; Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate); raționament prin reducere la absurd; Inducția matematică · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Șiruri

  Modalități de a defini un șir, șiruri mărginite, șiruri monotone; Șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcție de un termen dat și rație, suma primilor n termeni ai unei progresii; Condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n ≥ 3 · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Funcții; lecturi grafice

  Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x = m sau y = m, cu m ∈ ℝ; Funcția: definiție, exemple, exemple de corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, lecturi grafice. Egalitatea a două funcții, imaginea unei mulțimi printr-o funcție, graficul unei funcții, restricții ale unei funcții; Funcții numerice (F = {f : D → ℝ, D ⊆ ℝ}); reprezentarea geometrică a graficului: intersecția cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuații și inecuații de forma f(x) = g(x), (≤, <, >, ≥); proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăți: paritate/imparitate, simetria graficului față de drepte de forma x = m, m ∈ ℝ, periodicitate; Compunerea funcțiilor; exemple pe funcții numerice · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Funcția de gradul I

  Definiție; reprezentarea grafică a funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația f(x) = 0; Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonia și semnul funcției; studiul monotoniei prin semnul diferenței f(x₁) − f(x₂) (sau prin studierea semnului raportului (f(x₁) − f(x₂))/(x₁ − x₂), x₁, x₂ ∈ ℝ, x₁ ≠ x₂); Inecuații de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥) studiate pe ℝ sau pe intervale de numere reale; Poziția relativă a două drepte, sisteme de ecuații de tipul {ax + by = c, mx + ny = p}, a, b, c, m, n, p ∈ ℝ; Sisteme de inecuații de gradul I · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Funcția de gradul al II-lea

  Reprezentarea grafică a funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax² + bx + c, cu a, b, c ∈ ℝ și a ≠ 0, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația f(x) = 0, simetria față de drepte de forma x = m, cu m ∈ ℝ; Relațiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma {x + y = s, xy = p}, cu s, p ∈ ℝ · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea

  Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenței f(x₁) − f(x₂) sau prin rata creșterii/descreșterii: (f(x₁) − f(x₂))/(x₁ − x₂), x₁, x₂ ∈ ℝ, x₁ ≠ x₂, punct de extrem, vârful parabolei; Poziționarea parabolei față de axa Ox, semnul funcției, inecuații de forma ax² + bx + c ≤ 0 (≥, <, >), a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0, studiate pe ℝ sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecțiile unor porțiuni de parabolă pe axa Oy); Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma {mx + n = y, ax² + bx + c = y}, a, b, c, m, n ∈ ℝ · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Vectori în plan

  Segment orientat, vectori, vectori coliniari; Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare; înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar; condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Coliniaritate, concurență, paralelism - calcul vectorial în geometria plană

  Vectorul de poziție a unui punct; Vectorul de poziție a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiții de paralelism); Vectorul de poziție a centrului de greutate al unui triunghi (concurența medianelor unui triunghi); Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Elemente de trigonometrie

  Cercul trigonometric, definirea funcțiilor trigonometrice: sin : [0, 2π] → [−1, 1], cos : [0, 2π] → [−1, 1], tg : [0, π] \ {π/2} → ℝ, ctg : (0, π) → ℝ; Definirea funcțiilor trigonometrice: sin : ℝ → [−1, 1], cos : ℝ → [−1, 1], tg : ℝ \ D → ℝ, cu D = {π/2 + kπ | k ∈ ℤ}, ctg : ℝ \ D → ℝ, cu D = {kπ | k ∈ ℤ}; Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin(a + b), sin(a − b), cos(a + b), cos(a − b), sin 2a, cos 2a, sin a + sin b, sin a − sin b, cos a + cos b, cos a − cos b (transformarea sumei în produs) · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană

  Produsul scalar a doi vectori: definiție, proprietăți. Aplicații: teorema cosinusului, condiții de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic; Aplicații vectoriale și trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare; Calcularea razei cercului înscris și a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

Matematică-informatică și Științe ale naturii · Clasa a X-a

• Mulțimi de numere

  Numere reale: proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raționale pentru numere reale; Radical de ordin n (n ∈ ℕ și n ≥ 2) dintr-un număr, proprietăți ale radicalilor; Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare; Mulțimea ℂ. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operațiilor de adunare și de scădere a numerelor complexe și a înmulțirii acestora cu un număr real; Rezolvarea în ℂ a ecuației de gradul al doilea având coeficienți reali. Ecuații bipătrate · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Funcții și ecuații

  Funcția putere cu exponent natural: f : ℝ → D, f(x) = xⁿ, n ∈ ℕ, n ≥ 2 și funcția radical: f : D → ℝ, f(x) = ⁿ√x, n ∈ ℕ și n ≥ 2, unde D = [0, +∞) pentru n par și D = ℝ pentru n impar; Funcția exponențială: f : ℝ → (0, +∞), f(x) = aˣ, a ∈ (0, +∞), a ≠ 1 și funcția logaritmică: f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = logₐ x, a ∈ (0, +∞), a ≠ 1; Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile: definiție, proprietăți grafice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă; Funcții trigonometrice directe și inverse; Rezolvări de ecuații folosind proprietățile funcțiilor: 1. Ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3; 2. Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice; 3. Ecuații trigonometrice: sin x = a, cos x = a, a ∈ [−1, 1], tg x = a, ctg x = a, a ∈ ℝ, sin f(x) = sin g(x), cos f(x) = cos g(x), tg f(x) = tg g(x), ctg f(x) = ctg g(x). Notă: Pentru toate tipurile de funcții se vor studia: intersecția cu axele de coordonate, ecuația f(x) = 0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, convexitate. · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Metode de numărare

  Mulțimi finite ordonate. Numărul funcțiilor f : A → B, unde A și B sunt mulțimi finite; Permutări: numărul de mulțimi ordonate care se obțin prin ordonarea unei mulțimi finite cu n elemente; numărul funcțiilor bijective f : A → B, unde A și B sunt mulțimi finite; Aranjamente: numărul submulțimilor ordonate cu câte k elemente fiecare, k ≤ n, care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulțimi finite; numărul funcțiilor injective f : A → B, unde A și B sunt mulțimi finite; Combinări - numărul submulțimilor cu câte k elemente, unde 0 ≤ k ≤ n, ale unei mulțimi finite cu n elemente. Proprietăți: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu n elemente; Binomul lui Newton · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Matematici financiare

  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA; Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice; Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie; Evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile. Notă: Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, preț de cost al unui produs, amortizări de investiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget personal, buget familial. · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

• Geometrie

  Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan; Ecuații ale dreptei în plan determinate de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinate de două puncte distincte; Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanțe și a unor arii · Doar Matematică-informatică, Științe ale naturii

Matematică-informatică · Clasa a XI-a — Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații liniare

• Permutări

  Noțiunea de permutare, operații, proprietăți; Inversiuni, semnul unei permutări · Doar Matematică-informatică

• Matrice

  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice; Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți · Doar Matematică-informatică

• Determinanți

  Determinant de ordin n, proprietăți · Doar Matematică-informatică

• Sisteme de ecuații liniare

  Matrice inversabile din Mₙ(ℂ), n ≤ 4; Ecuații matriceale; Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice; Studiul compatibilității și rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouchè, metoda Gauss; Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan · Doar Matematică-informatică

Matematică-informatică · Clasa a XI-a — Elemente de analiză matematică

Note: În introducerea noțiunilor de limită a unui șir într-un punct și de șir convergent nu se vor introduce definițiile cu ε și nici teorema de convergență cu ε. Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...”, „regula lui …”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

• Limite de funcții

  Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată, simbolurile +∞ și −∞; Funcții reale de variabilă reală: funcția polinomială, funcția rațională, funcția putere, funcția radical, funcția logaritm, funcția exponențială, funcții trigonometrice directe și inverse; Limita unui șir utilizând vecinătăți, șiruri convergente; Monotonie, mărginire, limite; proprietatea lui Weierstrass. Exemple semnificative: (aⁿ)ₙ, (nᵃ)ₙ, ((1 + 1/n)ⁿ)ₙ (fără demonstrație), numărul e; limita șirului ((1 + uₙ)^(1/uₙ))ₙ, uₙ → 0, uₙ ≠ 0, pentru orice număr natural n; Operații cu șiruri care au limită; Limite de funcții: interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale; Calculul limitelor pentru funcțiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcții: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, ∞⁰, 0⁰; Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, oblice · Doar Matematică-informatică

• Continuitate

  Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții, studiul continuității în puncte de pe dreapta reală pentru funcțiile studiate, operații cu funcții continue; Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale, studiul existenței soluțiilor unor ecuații în ℝ · Doar Matematică-informatică

• Derivabilitate

  Tangenta la o curbă, derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile, operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și al II-lea pentru funcțiile studiate; Funcții derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcții, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange și interpretarea lor geometrică, corolarul teoremei lui Lagrange referitor la derivata unei funcții într-un punct; Rolul derivatei I în studiul funcțiilor: monotonia funcțiilor, puncte de extrem; Rolul derivatei a II-a în studiul funcțiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune; Regulile lui l’Hospital · Doar Matematică-informatică

• Reprezentarea grafică a funcțiilor

  Reprezentarea grafică a funcțiilor; Rezolvarea grafică a ecuațiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcțiilor în determinarea numărului de soluții ale unei ecuații; Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă) · Doar Matematică-informatică

Matematică-informatică · Clasa a XII-a — Elemente de algebră

• Grupuri

  Lege de compoziție internă (operație algebrică), tabla operației, parte stabilă; Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n; Subgrup; Grup finit, tabla operației, ordinul unui element; Morfism, izomorfism de grupuri · Doar Matematică-informatică

• Inele și corpuri

  Inel, exemple: inele numerice (ℤ, ℚ, ℝ, ℂ), ℤₙ, inele de matrice, inele de funcții reale; Corp, exemple: corpuri numerice (ℚ, ℝ, ℂ), ℤₚ, p prim; Morfisme de inele și de corpuri · Doar Matematică-informatică

• Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ (ℚ, ℝ, ℂ, ℤₚ, p prim)

  Forma algebrică a unui polinom, funcția polinomială, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar); Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu X − a, schema lui Horner; Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout; c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili; Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viète; Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ecuații binome, ecuații bipătrate, ecuații reciproce · Doar Matematică-informatică

Matematică-informatică · Clasa a XII-a — Elemente de analiză matematică

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate” sau „regulă”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

• Probleme care conduc la noțiunea de integrală

  Doar Matematică-informatică

• Primitive (antiderivate)

  Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții, proprietăți ale integralei nedefinite, liniaritate. Primitive uzuale · Doar Matematică-informatică

• Integrala definită

  Diviziuni ale unui interval [a, b], norma unei diviziuni, sistem de puncte intermediare, sume Riemann, interpretare geometrică. Definiția integrabilității unei funcții pe un interval [a, b]; Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare; Formula Leibniz – Newton; Integrabilitatea funcțiilor continue, teorema de medie, interpretare geometrică, teorema de existență a primitivelor unei funcții continue; Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma ∫ₐᵇ P(x)/Q(x) dx, grad Q ≤ 4 prin metoda descompunerii în fracții simple · Doar Matematică-informatică

• Aplicații ale integralei definite

  Aria unei suprafețe plane; Volumul unui corp de rotație; Calculul unor limite de șiruri folosind integrala definită · Doar Matematică-informatică

Științe ale naturii · Clasa a XI-a — Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații liniare

• Matrice

  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice; Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți · Doar Științe ale naturii

• Determinanți

  Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți · Doar Științe ale naturii

• Sisteme de ecuații liniare

  Matrice inversabile din Mₙ(ℂ), n = 2, 3; Ecuații matriceale; Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar; Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare; Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan · Doar Științe ale naturii

Științe ale naturii · Clasa a XI-a — Elemente de analiză matematică

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...”, „regula lui …”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

• Limite de funcții

  Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată, simbolurile +∞ și −∞; Limite de funcții: interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale; Calculul limitelor pentru funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea, funcția logaritmică, exponențială, funcția putere (n = 2, 3), funcția radical (n = 2, 3), funcția raport de două funcții cu grad cel mult 2; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcții: 0/0, ∞/∞, 0 · ∞; Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, orizontale și oblice · Doar Științe ale naturii

• Funcții continue

  Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții, operații cu funcții continue; Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale · Doar Științe ale naturii

• Funcții derivabile

  Tangenta la o curbă. Derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile; Operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și al II-lea pentru funcțiile studiate; Regulile lui l’Hospital pentru cazurile 0/0, ∞/∞ · Doar Științe ale naturii

• Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor

  Rolul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate; Reprezentarea grafică a funcțiilor · Doar Științe ale naturii

Științe ale naturii · Clasa a XII-a — Elemente de algebră

• Grupuri

  Lege de compoziție internă, tabla operației; Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n; Morfism și izomorfism de grupuri · Doar Științe ale naturii

• Inele și corpuri

  Inel, exemple: inele numerice (ℤ, ℚ, ℝ, ℂ), ℤₙ, inele de matrice, inele de funcții reale; Corp, exemple: corpuri numerice (ℚ, ℝ, ℂ), ℤₚ, p prim · Doar Științe ale naturii

• Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ (ℚ, ℝ, ℂ, ℤₚ, p prim)

  Forma algebrică a unui polinom, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar); Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu X − a, schema lui Horner; Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout; c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili; Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult 4; Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ecuații binome, ecuații bipătrate, ecuații reciproce · Doar Științe ale naturii

Științe ale naturii · Clasa a XII-a — Elemente de analiză matematică

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate” sau „regulă”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

• Probleme care conduc la noțiunea de integrală

  Doar Științe ale naturii

• Primitive (antiderivate)

  Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale · Doar Științe ale naturii

• Integrala definită

  Definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz-Newton; Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare; Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma ∫ₐᵇ P(x)/Q(x) dx, grad Q ≤ 4 prin metoda descompunerii în fracții simple · Doar Științe ale naturii

• Aplicații ale integralei definite

  Aria unei suprafețe plane; Volumul unui corp de rotație · Doar Științe ale naturii

Tehnologic · Clasa a IX-a

• Mulțimi și elemente de logică matematică

  Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operații cu intervale de numere reale; Propoziție, predicat, cuantificatori; Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate); Inducția matematică · Doar Tehnologic

• Șiruri

  Modalități de a descrie un șir; șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, determinarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii; Condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n ≥ 3 · Doar Tehnologic

• Funcții; lecturi grafice

  Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x = m sau de forma y = m, m ∈ ℝ; Funcția: definiție, exemple, exemple de corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, egalitatea a două funcții, imaginea unei funcții; Funcții numerice f : I → ℝ, I interval de numere reale; graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a graficului, intersecția graficului cu axele de coordonate, interpretarea grafică a unor ecuații de forma f(x) = g(x); proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului față de axa Oy sau origine), periodicitate; Compunerea funcțiilor; exemple de funcții numerice · Doar Tehnologic

• Funcția de gradul I

  Definiție; reprezentarea grafică a funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația f(x) = 0; Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonie, semnul funcției; Inecuații de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), a, b ∈ ℝ, studiate pe ℝ; Poziția relativă a două drepte, sisteme de tipul {ax + by = c, mx + ny = p}, a, b, c, m, n, p numere reale · Doar Tehnologic

• Funcția de gradul al II-lea

  Reprezentarea grafică a funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax² + bx + c cu a, b, c ∈ ℝ și a ≠ 0, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația f(x) = 0, simetria față de drepte de forma x = m cu m ∈ ℝ; Relațiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma {x + y = s, xy = p}, cu s, p ∈ ℝ · Doar Tehnologic

• Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea

  Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, interpretare geometrică; Poziționarea parabolei față de axa Ox, semnul funcției, inecuații de forma ax² + bx + c ≤ 0 (≥, <, >), a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0, interpretare geometrică; Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma {mx + n = y, ax² + bx + c = y}, cu a, b, c, m, n ∈ ℝ, interpretare geometrică · Doar Tehnologic

• Vectori în plan

  Segment orientat, vectori, vectori coliniari; Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare; înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar; condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori · Doar Tehnologic

• Trigonometrie și aplicații ale trigonometriei în geometrie

  Rezolvarea triunghiului dreptunghic; Cercul trigonometric, definirea funcțiilor trigonometrice: sin : [0, 2π] → [−1, 1], cos : [0, 2π] → [−1, 1], tg : [0, π] \ {π/2} → ℝ, ctg : (0, π) → ℝ; Definirea funcțiilor trigonometrice: sin : ℝ → [−1, 1], cos : ℝ → [−1, 1], tg : ℝ \ D → ℝ, cu D = {π/2 + kπ | k ∈ ℤ}, ctg : ℝ \ D → ℝ, cu D = {kπ | k ∈ ℤ}; Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin(a + b), sin(a − b), cos(a + b), cos(a − b), sin 2a, cos 2a; Modalități de calcul a lungimii unui segment și a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor și teorema cosinusului · Doar Tehnologic

Tehnologic · Clasa a X-a

• Mulțimi de numere

  Numere reale: proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul; Media aritmetică, media ponderată, media geometrică, media armonică; Radical unui număr (de ordin 2 sau de ordin 3), proprietăți ale radicalilor; Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare; Mulțimea ℂ. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe. Rezolvarea în ℂ a ecuației de gradul al doilea având coeficienți reali · Doar Tehnologic

• Funcții și ecuații

  Funcția putere: f : ℝ → ℝ, f(x) = xⁿ, n ∈ ℕ, n ≥ 2 și funcția radical: f : D → ℝ, f(x) = ⁿ√x, n = 2, 3, unde D = [0, +∞) pentru n par și D = ℝ pentru n impar; Funcția exponențială f : ℝ → (0, +∞), f(x) = aˣ, a ∈ (0, +∞), a ≠ 1 și funcția logaritmică f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = logₐ x, a ∈ (0, +∞), a ≠ 1; Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile: definiție, proprietăți grafice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă; Funcții trigonometrice directe și inverse; Rezolvări de ecuații folosind proprietățile funcțiilor: ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3; ecuații exponențiale, ecuații logaritmice, utilizarea unor substituții care conduc la rezolvarea de ecuații algebrice. Notă: Pentru toate tipurile de funcții se vor studia: intersecția cu axele de coordonate, ecuația f(x) = 0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, convexitate. · Doar Tehnologic

• Metode de numărare

  Mulțimi finite: permutări, aranjamente, combinări, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu n elemente · Doar Tehnologic

• Matematici financiare

  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA; Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice; Interpretarea datelor statistice prin lectura reprezentărilor grafice; Evenimente aleatoare egal probabile; probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile. Notă: Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, preț de cost al unui produs, amortizări de investiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget personal, buget familial. · Doar Tehnologic

• Geometrie

  Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan; Ecuații ale dreptei în plan determinate de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinate de două puncte distincte; Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte în plan; linii importante în triunghi, calcularea unor distanțe și a unor arii · Doar Tehnologic

Tehnologic · Clasa a XI-a — Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații liniare

• Matrice

  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice; Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți · Doar Tehnologic

• Determinanți

  Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți · Doar Tehnologic

• Sisteme de ecuații liniare

  Matrice inversabile din Mₙ(ℝ), n = 2, 3; Ecuații matriceale; Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar; Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor liniare; Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan · Doar Tehnologic

Tehnologic · Clasa a XI-a — Elemente de analiză matematică

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...”, „regula lui …”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

• Limite de funcții

  Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată, simbolurile +∞ și −∞; Limite de funcții: interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale; Calculul limitelor pentru funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea, funcția logaritmică, exponențială, funcția putere (n = 2, 3), funcția radical (n = 2, 3), funcția raport de două funcții cu grad cel mult 2, cazuri exceptate la calculul limitelor de funcții: 0/0, ∞/∞, 0 · ∞; Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, orizontale și oblice · Doar Tehnologic

• Funcții continue

  Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții, operații cu funcții continue; Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale · Doar Tehnologic

• Funcții derivabile

  Tangenta la o curbă. Derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile; Operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea pentru funcțiile studiate; Regulile lui l’Hospital pentru cazurile 0/0, ∞/∞ · Doar Tehnologic

• Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor

  Rolul derivatei de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate; Reprezentarea grafică a funcțiilor · Doar Tehnologic

Tehnologic · Clasa a XII-a — Elemente de algebră

• Grupuri

  Lege de compoziție internă, tabla operației; Grup, exemple: grupuri numerice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n; Morfism și izomorfism de grupuri · Doar Tehnologic

• Inele și corpuri

  Inel, exemple: inele numerice (ℤ, ℚ, ℝ, ℂ), ℤₙ; Corp, exemple: corpuri numerice (ℚ, ℝ, ℂ), ℤₚ, p prim · Doar Tehnologic

• Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ (ℚ, ℝ, ℂ, ℤₚ, p prim)

  Forma algebrică a unui polinom, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar); Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu X − a, schema lui Horner; Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bézout; Rădăcini ale polinoamelor; relațiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult 3 · Doar Tehnologic

Tehnologic · Clasa a XII-a — Elemente de analiză matematică

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate” sau „regulă”, pentru a sublinia faptul că se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonstrație este în afara programei.

• Primitive (antiderivate)

  Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale · Doar Tehnologic

• Integrala definită

  Definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz – Newton; Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare; Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma ∫ₐᵇ P(x)/Q(x) dx, grad Q ≤ 2 · Doar Tehnologic

• Aplicații ale integralei definite

  Aria unei suprafețe plane; Volumul unui corp de rotație · Doar Tehnologic

Pedagogic · Clasa a IX-a

• Mulțimi și elemente de logică matematică

  Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operații cu intervale de numere reale; Propoziție, predicat, cuantificatori; Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate) · Doar Pedagogic

• Șiruri

  Modalități de a descrie un șir; șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, determinarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii · Doar Pedagogic

• Funcții; lecturi grafice

  Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x = m sau de forma y = m, m ∈ ℝ; Funcția: definiție, exemple, exemple de corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, lectură grafică; egalitatea a două funcții, imaginea unei funcții, graficul unei funcții; Funcții numerice f : I → ℝ, I interval de numere reale; graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a graficului, intersecția graficului cu axele de coordonate, interpretarea grafică a unor ecuații de forma f(x) = g(x); proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului față de axa Oy sau față de origine), periodicitate · Doar Pedagogic

• Funcția de gradul I

  Definiție; reprezentarea grafică a funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, unde a, b ∈ ℝ, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația f(x) = 0; Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonie, semnul funcției; Inecuații de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), a, b ∈ ℝ studiate pe ℝ; Poziția relativă a două drepte; sisteme de tipul {ax + by = c, mx + ny = p}, a, b, c, m, n, p ∈ ℝ · Doar Pedagogic

• Funcția de gradul al II-lea

  Reprezentarea grafică a funcției f : ℝ → ℝ, f(x) = ax² + bx + c, a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0, intersecția graficului cu axele de coordonate, ecuația f(x) = 0, simetria față de drepte de forma x = m, cu m ∈ ℝ; Relațiile lui Viète, rezolvarea sistemelor de forma {x + y = s, xy = p}, cu s, p ∈ ℝ · Doar Pedagogic

• Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea

  Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, interpretare geometrică; Poziționarea parabolei față de axa Ox, semnul funcției, inecuații de forma ax² + bx + c ≤ 0 (≥, <, >), cu a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0, interpretare geometrică; Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă: rezolvarea sistemelor de forma {mx + n = y, ax² + bx + c = y}, a, b, c, m, n ∈ ℝ, interpretare geometrică · Doar Pedagogic

• Vectori în plan

  Segment orientat, vectori, vectori coliniari; Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare, înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar, condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari · Doar Pedagogic

• Coliniaritate, concurență, paralelism – calcul vectorial în geometria plană

  Vectorul de poziție a unui punct; Vectorul de poziție a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiții de paralelism); Vectorul de poziție a centrului de greutate al unui triunghi (concurența medianelor unui triunghi) · Doar Pedagogic

• Aplicații ale trigonometriei în geometrie

  Rezolvarea triunghiului dreptunghic; Formulele (fără demonstrație): cos(180° − x) = −cos x; sin(180° − x) = sin x; Modalități de calcul a lungimii unui segment și a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor și teorema cosinusului · Doar Pedagogic

Pedagogic · Clasa a X-a

• Numere reale

  Numere reale: proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raționale pentru numere reale; Radical dintr-un număr (ordin 2 sau ordin 3), proprietăți ale radicalilor; Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare · Doar Pedagogic

• Funcții și ecuații

  Funcția putere: f : ℝ → D, f(x) = xⁿ, n ∈ ℕ, n ≥ 2 și funcția radical: f : D → ℝ, f(x) = ⁿ√x, n = 2, 3, unde D = [0, +∞) pentru n par și D = ℝ pentru n impar; Funcția exponențială f : ℝ → (0, +∞), f(x) = aˣ, a ∈ (0, +∞), a ≠ 1 și funcția logaritmică f : (0, +∞) → ℝ, f(x) = logₐ x, a ∈ (0, +∞); Rezolvări de ecuații folosind proprietățile funcțiilor: ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3; ecuații exponențiale, ecuații logaritmice, utilizarea unor substituții care conduc la rezolvarea unor ecuații algebrice. Notă: Pentru toate tipurile de funcții se vor studia: intersecția cu axele de coordonate, ecuația f(x) = 0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, convexitate. · Doar Pedagogic

• Matematici financiare

  Probleme de numărare: permutări, aranjamente, combinări; Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA; Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice. Interpretarea datelor statistice; Evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile. Notă: Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, calcularea prețului de cost al unui produs, amortizări de investiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget personal, buget familial. · Doar Pedagogic

• Geometrie

  Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan; coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan; Ecuații ale dreptei în plan determinată de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinată de două puncte distincte date; Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte din plan, calcularea unor distanțe și a unor arii · Doar Pedagogic

Pedagogic · Clasa a XI-a

• Structuri algebrice

  Legi de compoziție, proprietăți; Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp. Exemple: mulțimile ℕ, ℤ, ℤₙ, ℚ, ℝ · Doar Pedagogic

Pedagogic · Clasa a XII-a — Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații liniare

• Matrice

  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice; Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți · Doar Pedagogic

• Determinanți

  Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți · Doar Pedagogic

• Sisteme de ecuații liniare

  Matrice inversabile din Mₙ(ℝ), n = 2, 3. Ecuații matriceale; Sisteme de ecuații liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar; Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare; Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și caracterizarea coliniarității a trei puncte în plan · Doar Pedagogic